DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR EM \(\mathbb{R^n}\)
Seja `B = {`\(\vec{v_1}\),\(\vec{v_2}\),\(\vec{v_3}\),...,\(\vec{v_m}\)`}` um conjunto de m-vetores em \(\mathbb{R^n}\).
Procedimento para definir se o conjunto B é Linearmente Dependente(L.D) ou Linearmente Independente(L.I):
`A` = \(\left\{ \begin{array}{} . & . & . & & .\\ \vec{v_1} & \vec{v_2} & \vec{v_3} & ... & \vec{v_m} \\ . & . & . && .\\ \end{array} \right\}\)
Cada vetor `v_i` do conjunto B corresponde a coluna `i` da matriz A
Conjunto B é L.I se `Det(A)`≠0 ou L.D se `Det(A)`=0.
Conclusão:
det(A) =
O conjunto B é L.I
Conclusão:
det(A) = 0
O conjunto B é L.D
Teorema:
Seja um conjunto {\(\vec{v_1}\),...,\(\vec{v_n}\)} e `λ_1,...,λ_n` escalares.
tal que \(λ_1\vec{v_1}\ +...+ λ_n\vec{v_n}\) = 0
O conjunto é L.I se e somente se `λ_1 = ... = λ_n = 0`
Conclusão:
Como os = 0
O conjunto B é L.I
Teorema:
Seja um conjunto {\(\vec{v_1}\),...,\(\vec{v_n}\)} e `λ_1,...,λ_n` escalares.
tal que \(λ_1\vec{v_1}\ +...+ λ_n\vec{v_n}\) = 0
O conjunto é L.D se qualquer λ ≠ 0
Conclusão:
Como os então:
O conjunto B é L.D
Teorema:
Seja E um espaço vetorial de dimensão `n` (finito).
O Conjunto `{`\(\vec{v_1}\),\(\vec{v_2}\),...,\(\vec{v_m}\)`}` é L.D se `m > n`
Conclusão:
O conjunto B é L.D
Desenvolvedor: Lucas Batista da Fonseca