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Limite de função de duas variáveis

Seja $f$ $:D \subset \mathbb{R}^2\to\ \mathbb{R}$ ; $z = f(x,y)$ ; $(x,y)$ $\in$ D ; $z$ $\in$ $Im(f)$

Gráfico $(f): = {(x,y,f(x,y))$ $\in$ $\mathbb{R}^2$ $}$

AFIRMAÇÃO:

$lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y)$ depende do caminho de aproximação ao ponto $(x_0,y_0)$

1º Exemplo 2º Exemplo

Como podemos verificar no exemplo à seguir:

$z = f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)$

Note que:

D1 $->$ $lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1$ ; D2 $->$ $lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2$

$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$ $\nexists$ ;

Como podemos verificar no exemplo à seguir:

$z = f(x,y) = (x^2 + 2y^2)/(x^2 - y^2)$

Note que:

D1 $->$ $lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1$ ; D2 $->$ $lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2$

$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$ $\nexists$ ;

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Limite de função de duas variáveis

Seja $f$ $:D \subset \mathbb{R}^2\to\ \mathbb{R}$ ; $z = f(x,y)$ ; $(x,y)$ $\in$ D ; $z$ $\in$ $Im(f)$

Gráfico $(f): = {(x,y,f(x,y))$ $\in$ $\mathbb{R}^2$ $}$

AFIRMAÇÃO:

$lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y)$ depende do caminho de aproximação ao ponto $(x_0,y_0)$

Como podemos verificar no exemplo à seguir:

$z = f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)$

Note que:

D1 $->$ $lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1$ ; D2 $->$ $lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2$

$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$ $\nexists$ ;

Como podemos verificar no exemplo à seguir:

$z = f(x,y) = (x^2 + 2y^2)/(x^2 - y^2)$

Note que:

D1 $->$ $lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1$ ; D2 $->$ $lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2$

$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$ $\nexists$ ;

Use Para apagar rastro

Escolha um equação de duas variáveis e o ponto $(x_0,y_0)$

Utilize o ponto "D", com o mouse, para gerar caminhos de aproximação à $(x_0,y_0)$

Desenvolvedor: Lucas Batista da Fonseca

Limite de função de duas variáveis

Seja ff :D⊂R2→ R:D \subset \mathbb{R}^2\to\ \mathbb{R} ; z=f(x,y)z = f(x,y) ; (x,y)(x,y) ∈\in D ; zz ∈\in Im(f)Im(f)

Gráfico (f):={(x,y,f(x,y))(f): = {(x,y,f(x,y)) ∈\in R2\mathbb{R}^2}}

AFIRMAÇÃO:

lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y) depende do caminho de aproximação ao ponto (x0,y0)(x_0,y_0)

Como podemos verificar no exemplo à seguir:

z=f(x,y)=x2-y2x2+y2z = f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)

Note que:

D1→->lim(x,0)→(0,0)f(x,y)=L1lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1 ; D2→->lim(0,y)→(0,0)f(x,y)=L2lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2

lim(x,y)→(0,0)f(x,y)lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) ∄\nexists;

Como podemos verificar no exemplo à seguir:

z=f(x,y)=x2+2y2x2-y2z = f(x,y) = (x^2 + 2y^2)/(x^2 - y^2)

Note que:

D1→->lim(x,0)→(0,0)f(x,y)=L1lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1 ; D2→->lim(0,y)→(0,0)f(x,y)=L2lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2

lim(x,y)→(0,0)f(x,y)lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) ∄\nexists;

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Escolha um equação de duas variáveis e o ponto (x0,y0)(x_0,y_0)

Utilize o ponto "D", com o mouse, para gerar caminhos de aproximação à (x0,y0)(x_0,y_0)

Desenvolvedor: Lucas Batista da Fonseca

Seja $f$ $:D \subset \mathbb{R}^2\to\ \mathbb{R}$ ; $z = f(x,y)$ ; $(x,y)$ $\in$ D ; $z$ $\in$ $Im(f)$

Gráfico $(f): = {(x,y,f(x,y))$ $\in$ $\mathbb{R}^2$ $}$

$lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y)$ depende do caminho de aproximação ao ponto $(x_0,y_0)$

$z = f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)$

D1 $->$ $lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1$ ; D2 $->$ $lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2$

$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$ $\nexists$ ;

$z = f(x,y) = (x^2 + 2y^2)/(x^2 - y^2)$

D1 $->$ $lim_((x,0)->(0,0)) f(x,y) = L_1$ ; D2 $->$ $lim_((0,y)->(0,0)) f(x,y) = L_2$

$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)$ $\nexists$ ;

Escolha um equação de duas variáveis e o ponto $(x_0,y_0)$

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