Integração dupla por Soma de Riemann
Exemplo
Seja `z=f(x,y)` uma função de duas variáveis.
Tipo de integração(*)
Integração por soma inferior
Integração por soma superior
Partições
Partições em x:
`n=` 1
Partições em y:
`m=` 1
Visualização
Calculando a Soma de Riemann
`x_min=`
`x_max=`
`y_min=`
`y_max=`
Integração por soma inferior
Integração por soma superior
Partições
Partições em x:
`n=` 1
Partições em y:
`m=` 1
| n | m | Soma inferior | Valor exato | Soma superior |
| -- | -- | -- | 2.04 | -- |
| -- | -- | -- | -- | |
| -- | -- | -- | -- |
Visualização
Zoom
(*)Em relação aos valores f(x,y) dos vértices das células.
Método do cálculo
Considere a função `f = RR^2rarrRR//z=f(x,y)`. Queremos calcular a integral dupla `intint_D f(x,y)dxdy` no retângulo `[x_min,x_max]xx[y_min,y_max]`.
O procedimento: considere que a função seja contínua pelo menos no domínio `D`. O retângulo `D` é particionado de acordo com a seguinte figura:
Dessa forma, `intint_D f(x,y)dxdy=sum_(i=1)^nsum_(j=1)^(m)DeltaV_(ij)=sum_(i=1)^nsum_(j=1)^(m)f(x_i^(**),y_j^(**))DeltaxDeltay` quando `n,mrarroo`, se o limite existir.
Para facilitar os cálculos, optamos por particionar o domínio homogeneamente, com `n` partições em `x` e `m` em `y`, formando células de dimensão `[Deltax]xx[Deltay]`, tal que `Deltax=(x_max-x_min)/n` e `Deltay=(y_max-y_min)/m`.
Em seguida, é calculado a altura `f(x_i^**,y_j^**)` de cada prisma `DeltaV_(ij)`, de acordo com o tipo de integração escolhido:
Integração por soma inferior: a altura do prisma é o menor valor da função entre os vértices da célula;
Integração por soma superior: a altura do prisma é o maior valor da função entre os vértices da célula;
OBS.: O caso específico escolhido não afeta o resultado final da integral, pois quando o número de partições tendem ao infinito não importa como o domínio foi particionado ou qual ponto foi utilizado para obter a altura de cada prisma. O método escolhido pode apenas interferir na velocidade em que a soma converge para o valor real.