Rotação de vetores em torno dos eixos


Seja `v` ∈ ℜ³:

`v` = ( )

Rotação em torno dos eixos em graus:

Eixo z:

Eixo y:

Eixo x:

As rotações não alteram o módulo do vetor.
Visualização 3D Zoom

Cálculo das coordenadas de v'

As matrizes de rotação no ℜ³ são:

Eixo Z `rarr R_alpha = [[cosalpha,-sinalpha,0],[sinalpha,cosalpha, 0],[0,0,1]]`

Eixo Y `rarr R_beta = [[cosbeta,0,sinbeta],[0,1,0],[-sinbeta,0,cosbeta]]`

Eixo X `rarr R_gamma = [[1,0,0],[0,cosgamma,-singamma],[0,singamma,cosgamma]]`

Na rotação realizada:




`v' = `` = `


Módulo constante

O módulo do vetor resultante v' é o igual ao módulo do vetor v.
Seja R a matriz de rotação:

`v' = R v`

`|v'| = sqrt((:v',v':))` ` " (*)"`

`= sqrt((v')^T v') = sqrt((Rv)^T Rv)`

`= sqrt(v^T R^T Rv) = sqrt(v^T R^-1 Rv)` ` " (**)"`

`= sqrt(v^Tv) = sqrt((:v,v:)) = |v|`


Vídeo explicativo do canal Academia Zanella

`"(*) " `Seja`" "v = (v_x,v_y,v_z)`

`rArr (:v,v:) = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2`

`= [[v_x,v_y,v_z]][[v_x],[v_y],[v_z]] = v^T v`

Se`" "v' = (v_x',v_y',v_z')`

`rArr (:v',v':) = (v')^T v'`



`"(**) "` As matrizes de rotação são ortogonais.
Consequentemente, seja `R` uma matriz de rotação, então:

`R*R^T = I " " rArr " " R^T = R^-1`