Séries Geométricas

Considere a região fractal, centrada no quadrado de lado L = 1 cm. Adicionando a cada etapa 3 novos quadrados com lado igual a terceira parte da etapa anterior e em posições cêntricas (como mostra a figura a seguir), a área e o perímetro da região são:

Para o n-ésimo termo:

`A(n) = L^2 + 3(L/3)^2 + 9*(L/9)^2 + 27*(L/27)^2 + ... + 3^n*(L/3^n)^2`

`P(n) = 4*L + 6*L/3 + 18*L/9 + 54*L/27 + ... + 3^n*2*L/3^n`

Simplificando e assumindo que `L=1cm`, tem-se:

Área: `A(n)=1/2*3^(-n)*(3^(n+1)-1)`

Perímetro: `P(n)=4+2*n`

Para valores de n muito grandes:

`lim_(n->oo) A(n) = 3/2`

`lim_(n->oo) P(n) = oo`

`{A_n}->{a,a*r,a*r^2,a*r^3,a*r^4,...,a*r^n}`, onde `{(a->1º termo),(r->razão):}`

`S_n = sum_(k=0)^(n)a*r^k=a*(r^n-1)/(r-1)`

`S_oo = sum_(k=0)^oo a*r^k = a/(1-r)`, para `|r|lt1`